Umkreisradius-Kriterium

Ein Kriterium zum Bewerten der Qualität der Elemente ist das Umkreisradius-Kriterium (circumradius-to-shortest-edge ratio), das in [Talmor u. a. 1995] beschrieben wurde. Definiert wird das Kriterium durch den Quotienten aus dem Umkreisradius und der kürzesten Kantenlänge eines Dreiecks (siehe Abbildung 3.29):

$${\cal B}= \frac{r}{d}$$ (20)

Dieses Kriterium lässt sich problemlos auch auf Tetraedernetze anwenden. Hierbei ist dann der Umkreisradius durch den Radius der umschließenden Kugel zu ersetzen. Der Qualitätsparameter ${\cal B}$ für ein Finite-Elemente-Netz ist eine obere Grenze für alle Dreieckelemente eines Netzes. In [Chew 1989] wird als obere Grenze für Dreiecknetze ${\cal B}< 1$ vorgeschlagen. Für gleichseitige Dreiecke ergibt das Umkreisradius-Kriterium den Wert 0, für ungünstige Dreiecke einen kleineren Wert, der als untere Schranke 1 hat.

Abbildung 3.29: Umkreisradius-Kriterium

Der Qualitätsparameter ${\cal B}= \frac{r}{d}$ lässt sich in ein Winkelkriterium überführen. Abbildung 3.29 ist zu entnehmen, dass $d = 2 r \sin \alpha$ ist. Umgeformt würde dies für den kleinsten Innenwinkel im Netzwerk bedeuten:

$$\alpha = \arcsin \frac{1}{2{\cal B}}$$ (21)

Abbildung 3.30: Umkreisradius-Kriterium a) Netz (weiß $\hat{=}$ gute Qualität, schwarz $\hat{=}$ schlechte Qualität), b) Verteilung

a) b)
$\parbox{60mm}{\psfig{figure=kriterien/umkreis_k.ps,width=55mm}}$ $\parbox{70mm}{\psfig{figure=kriterien/umkreis_kriterium.eps,width=65mm}}$

Bei einer Vorgabe von ${\cal B}< 1$ ergibt sich daraus für den kleinsten Innenwinkel, dass er größer als $30$ $^{^{\tt\circ}}$sein muss . Dieses Kriterium ist vorteilhaft bei der Delaunay-Triangulierung zur Identifikation von ungünstigen Dreiecken anzuwenden, da bei der Delaunay-Triangulierung der Umkreisradius normalerweise bekannt ist. Die Verteilung der Qualität der Elemente ist entsprechend Abbildung 3.30 b) meist linear bis quadratisch, wodurch auch relativ schlechte Elemente noch gut aufgefunden werden können.

Das Umkreis-Kriterium sucht entsprechend der Gleichung 3.8 nach den Elementen, die den kleinsten Innenwinkel haben. Elemente mit zwei kleinen Innenwinkeln werden als schlecht identifiziert.

Der Wertebereich von ${\cal B}$ liegt zwischen $0$ und $1$, wobei $0$ für Elemente mit dem kleinsten Innenwinkel von $60$ $^{^{\tt\circ}}$und $1$ für Elemente mit dem kleinsten Innenwinkel von $30$ $^{^{\tt\circ}}$steht. Eine Anwendung des Kriteriums ist nur bei Dreieck- und Tetraederelementen möglich. Für andere Elementarten wie Vierecke oder Hexaeder ist der kleinste Innenwinkel ein ungünstiger Indikator für die Qualität.