Form-Kriterium

Das Form-Kriterium $\alpha$ für Dreiecke wurde von [Cavendish 1974] vorgeschlagen. Definiert ist es als Quotient aus der Dreieckfläche und den Summen der Quadrate der Kantenlängen sowie einem Normierungsfaktor:

$$\alpha = \frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot A }{\sum l_i^2}$$ (22)

Abbildung 3.31: Form-Kriterium

Hierbei ist A die Fläche des Dreiecks und $l_i$ sind die Längen der Kanten. Die Qualität eines Dreiecks ist um so besser, je größer der Wert $\alpha$ ist. Die Obergrenze ist $\alpha = \frac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{12} = 1.0$ für ein gleichseitiges Dreieck.

Einige Algorithmen zur Generierung von Finite-Elemente-Netzen benötigen zum Erreichen des Delaunay-Kreiskriteriums ein Wechseln der Diagonale zwischen zwei benachbarten Dreiecken (siehe Abbildung 3.31). Zum Aufzeigen eines notwendigen Wechsels ist das Form-Kriterium ein brauchbares Maß.

Eine Anwendung auf Vierecknetze, Tetraeder und Hexaeder ist in der Literatur nicht vorgeschlagen, sie ist aber denkbar. Für Vierecke ergibt sich:

$$\alpha = \frac{4 \cdot A }{\sum l_i^2}$$ (23)

Im Dreidimensionalen zieht man für den Vergleich den Quotienten des Volumens zu der Summe der Volumen der Würfel über den Kantenlängen heran. Für Tetraeder ergibt sich:

$$\alpha = \frac{12 \cdot \sqrt{2} \cdot V }{\sum l_i^3}$$ (24)

Für Hexaeder ergibt sich:

$$\alpha = \frac{12 \cdot V }{\sum l_i^3}$$ (25)

Für optimale Elemente ergibt das Form-Kriterium den Wert 1, für ungünstige Elemente einen kleineren Wert, der als untere Schranke 0 hat.

Abbildung 3.32: Form-Kriterium a) Netz (weiß $\hat{=}$ gute Qualität, schwarz $\hat{=}$ schlechte Qualität), b) Verteilung

a) b)
$\parbox{60mm}{\psfig{figure=kriterien/form_k.ps,width=55mm}}$ $\parbox{70mm}{\psfig{figure=kriterien/form_kriterium.eps,width=65mm}}$

Das Form-Kriterium sucht nach Gleichung 3.9 nach den Elementen, bei denen eine Kante eine deutlich andere Länge als die anderen Kanten hat. Hierdurch werden unter anderem gute Elemente mit einem oder zwei spitzen bzw. einem stumpfen Innenwinkel gefunden. Das Kriterium liefert Werte im Bereich von $0$ und $1$, wobei $1$ für Elemente mit gleich langen Kanten und $0$ für Elemente mit stark unterschiedlich langen Kanten steht.

Die Verteilung der Qualität der Elemente ist entsprechend Abbildung 3.32 b) meist linear bis quadratisch, wodurch auch relativ schlechte Elemente noch gut gefunden werden können. Eine Anwendung des Form-Kriteriums ist für beliebige Elemente möglich und sinnvoll.