Hauptachsenmethode

Die Hauptachsenmethode (siehe [Farhat und Lesoinne 1993], [Nour-Omid u. a. 1987], [Belkhale und Prithviraj 1990], [Simon 1991], [Chrisochoides u. a. 1994a]) teilt das Gebiet entlang der Hauptachse, die das größere Flächenträgheitsmoment aufweist. Die Achsen können aus den Eigenvektoren der Matrix

$$I=\left[ \begin{array}{lll} I_{xx}&I_{xy}\\ I_{yx}&I_{yy} \end{array}\right]$$ (6)

bestimmt werden. Die Matrixelemente lassen sich mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes berechnen. Eine Koordinatentransformation in den Schwerpunkt ist notwendig.
Schwerpunktskoordinaten:

$$x_s = \frac{\int x dA}{\int dA}$$ (7)

$$y_s = \frac{\int y dA}{\int dA}$$ (8)

Die Trägheitsmomente berechnen sich dann wie folgt:

$$I_{xx} = \int y^2 dA$$ (9)

$$I_{yy} = \int x^2 dA$$ (10)

$$I_{xy} = \int x \cdot y dA$$ (11)

Abbildung 2.16: Hauptachsen Bisektion: a) zwei Teilgebiete, b) vier Teilgebiete, c) acht Teilgebiete

Der numerische Aufwand der Partitionierung ist wegen der Berechnung der Integrale wesentlich höher als bei der Koordinaten-Bisektion. Dieser höhere Aufwand rechtfertigt sich durch die wesentlich günstigeren Formen der Teilgebiete, die eine geringere Länge der Außenkante besitzen und daher weniger Kommunikationsaufwand während der nachfolgenden Berechnung bewirken [Lämmer 1997](siehe Abbildung 2.16). Eine Verbesserung der Partitionierung ist mit der Kernighan-Lin-Heuristik [Kernighan und Lin 1970] und dem Algorithmus der Hilfreichen Mengen [Diekmann u. a. 1994] möglich.